KNOWED.RU

Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон?

Пусть a1,a2, … ,an, … — выписанные в ряд все натуральные числа без единицы. Покажем, что в этой последовательности существует бесконечно много чисел, больших своего номера. Построим для этого новую последовательность bn натуральных чисел, заданную следующим рекуррентным соотношением:


Докажем, что все члены последовательности bn различны. Действительно, пусть какие-то два ее члена bk и bl равны. Если k > l > 1, то имеем , откуда bk – 1 = bl – 1, так как все члены последовательности an различны. Продолжая аналогичные рассуждения, получим bk – 2 = bl – 2 … bk – l + 1 = b1 Последнее равенство означает , что противоречит условию того, что последовательность an не содержит единицы. Противоречие доказывает, что все члены последовательности bn различны.

Так как bn — бесконечная последовательность различных натуральных чисел, то в ней существует бесконечно много членов, больших предыдущего (в противном случае она бы убывала начиная с некоторого места, что невозможно). Иными словами, для бесконечно многих k выполнено bk + 1 > bk, или . А это и значит, что бесконечно много членов последовательности an больше своего номера.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=news&op=view&id=56
1111