KNOWED.RU

Аксиомы соединения.
Эта группа аксиом описывает основные свойства прямых:
I1 Для любых двух различных точек A и B существует единственная прямая, проходящая через эти точки.
I2 Любая прямая содержит по крайней мере две различные точки. Существуют три различные точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиомы порядка.
II1 Если точка B лежит между точками A и C, то A,B,C - коллинеарные точки.
II2 Если точка B лежит между A и C, то она лежит между C и A.
II3 Для любых различных точек A и B существует такая точка C, что B лежит между A и C.
II4 Среди трех попарно-различных коллинеарных точек A,B,C существует одна и только одна, лежащая между двумя другими.
II5 Пусть A,B,C - неколлинеарные точки. Если прямая l разделяет A и B, и проходит через точку C, то l разделяет либо B и C, либо A и C.

Треугольник.

Определение: Треугольником называется фигура, являющаяся объединением трех отрезков: [AB],[BC],[CD].

Аксиому II5 можно записать в виде:
II5 Если прямая не проходит через вершины треугольника ABC и пересекает сторону [AB], то эта прямая пересекает одну из двух других сторон.

Взаимное расположение треугольника и прямой.

Предложение:
Пусть прямая l не проходит через вершины треугольника ABC. Тогда l не может пересечь все три стороны треугольника.
Доказательство:
Будем рассуждать 'от противного'. Предположим, что прямая l может пересечь все три стороны стороны треугольника ABC. Тогда l∩[AB]=K,l∩[BC]=L,l∩[CA]=M. Без ограничения общности можно считать, что L лежит между K и M. Применим аксиому II5 к треугольнику AKM и прямой (BC). (BC) пересекает [KM] и не пересекает [AM]. Следовательно, (BC)∩[AK]=B. Отсюда, B - внутренняя точка [AK]. По аксиоме II4, K не является внутренней точкой [AB]. Мы получили противоречие. #.


Предложение:
Пусть прямая l не проходит через вершины треугольника ABC. Если l пересечет две стороны треугольника, то она не пересечет третью сторону. Доказательство:
Если прямая пересечет третью сторону, то она пересечет все три стороны, что невозможно по предложению 1.3. #.

Непустота произвольного интервала.


Предложение:
Для любых различных точек A и B существует точка C, разделяющая A и B.

Доказательство:
Пусть точка G не лежит на прямой (AB). В силу аксиомы II3, найдутся такие точки F и H, что G разделяет A и F, а B разделяет F и H. Из аксиомы II4 следует, что точка H не лежит между B и F. Применив к прямой (GH) и треугольнику AFB аксиому II5 получим, что (GH) пересекает [AB] в некоторой точке C. #.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=100
1111