KNOWED.RU

ЛЕММА1:Пусть треугольники ABC и ABC1 таковы, что AC=AC1, BC=BC1 и точки C,C1 лежат по одну сторону от прямой (AB). Тогда эти треугольники конгруэнтны

ТЕОРЕМА
Если в треугольниках ABC и A1B1C1 выполнены следующие соотношения: AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1, то такие треугольники конгруэнтны.

Доказательство:
Первый признак конгруэнтности будет применим, если окажутся конгруэнтными одни из углов треугольников. Пусть D1 - такая точка, что D1 и C1 лежат по одну сторону от прямой (A1B1) и выполнены следующие соотношения: Углы D1A1B1 и CAB конгруэнтны, A1D1=AC. Тогда треугольники A1B1D1=ABC => B1D1=BC. Но по условию BC=B1C1 => B1D1=B1C1. Обозначим через D2 точку, что D1 и D2 лежат по разные стороны от прямой (A1B1) и выполнены следующие соотношения: Углы D1A1B1=D2A1B1, A1D1=A1D2. Легко увидеть, что конгруэнтны треугольники A1B1D1 и A1B1D2 => B1D2=B1D1. Учитывая, что B1D1=B1C1 имеем : B1D2=B1C1. Кроме того, легко проверяется, что A1D2=A1C1. => К треугольникам A1B1C1 и A1B1D2 применима ЛЕММА 1. => углы B1A1C1=B1A1D2. В силу выбора точки D2, углы B1A1D1 и A1B1D2 конгруэнтны. Из аксиомы III4 следует, что лучи [A1D1) и [A1C1) совпадают так как по построению углы D1A1B1=CAB, то углы C1A1B1=CAB. #.

СЛЕДСТВИЕ: Если углы aOb=a1O1b1 и a1O1B1=a2O2b2 => aOb=a2O2b2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТО: Найдем такие точки A?a, A1?a1, A2?a2, B?b, B1?b1,2?b2, что OA=O1A1=O2A2, OB=O1B1,O2B2. Тогда треугольники OAB=O1A1B1 и O1A1B1=O2B2A2. По Первому принаку. => AB=A1B1=A2B2 => Треугольники OAB и O2A2B2 конгруэнтны о третьему принаку.Значит искомое соотношение для углов выполняется. #
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=104
1111