KNOWED.RU

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Угол называется прямым, если он конгруэнтен смежному с ним углу.

ТЕОРЕМА
Любые два прямых угла конгруэнтны

Доказательство:
Пусть углы aPb и cQd - прямые. Обозначим, как c' и a' лучи, дополнительные лучам c и a. По аксиоме III4 , существует такой луч f, что углы aPf=cQd и лучи b и f лежат в одной и той же полуплоскости с границей aua'. Угол aPf прямой. Если лучи b и f совпадают, то конгруэнтность углов aPb и cQd очевидна. Покажем, что предложение о несовпадении этих лучей приводит к противоречию. В самом деле, если b&#8800;f, то луч f проходит во внутренней области угла aPb или a'Pb. без ограничения общности можно считать, что f лежит во внутренней области угла aPb => aPf < aPb. Ясно, что в этом случае луч b проходит во внутренней области угла a'Pf => a'Pb < a'Pf. Так как угол aPb прямой, то имем: aPb=a'Pb. Из соотношений aPf < aPb, aPb=a'Pb, a'Pb

Существование и единственность перпендикуляра.

ТЕОРЕМА
Для любой прямой l и любой точки A, существует единственная прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой l.

Доказательство:
Сначала рассмотрим случай, когда A(не)?l. Пусть X?l. Обозначим через b один из лучей прямой l с началом в точке X, а через a, луч [XA). Найдем такой луч с началом в точке X, что углы aXb=cXb и прямая l разделяет лучи a.c. На луче c выберем точку C такую, чтобы XC=XA. Точки A и C лежат по разные стороны от прямой l. => (AC) и l пересекаются в точке Y. Покажем, что прямая (AC) перпендикулярна l. Если X&#8800;Y, то смежные углы AYX и CYX конгруэнтны. Мы проверили, что если A?l, то через точку A можно провести перпендикуляр к l. Предположим, что существует два различных перпендикуляра к l, проходящих через точку A. Тогда получится треугольник с двумя прямыми углами, чего быть не может. Если A?l, то нужно построить прямой угол с вершиной в точке A так, чтобы одна сторона этого угла принадлежала прямой l. Тогда вторая сторона определит перпендикуляр к прямой l, проходящий через точку A. Единственность перпендикуляра в этом случае следует из конгруэнтности прямых углов. #.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=106
1111