KNOWED.RU

Если X и Y - произвольные непустые множества, то следующие утверждения выполнены:
1) Если отображение f из X в Y инъективно, то существует сюръективное отображение g из Y в X.
2) Если отображение из X на Y сюръективно, то существует инъективное отображение g из Y на X.

Доказательство утверждения:
1) пусть мы имеем инъективное отображение из X на Y. Назовем его f. На множестве X зафиксируем произвольный элемент xo. Определим следующее правило. Если y принадлежит E(f), где f(x)=y то g(y)=x, если же y не принадлежит E(f), где f(x)=y, то g(y)=xo.
Убедимся, что g - отображение. Предположим, что g(y)=x1 и g(y)=x2. Для начала рассмотрим случай, когда y принадлежит E(f). Тогда f(x1)=y и f(x2)=y. Из инъективности отображения f получаем, чтот x1=x2. Далее, рассмотрим случай, когда y не принадлежит E(f). В этом случае, g(y)=xo, значит f(xo)=y, следовательно xo=x1=x2. Мы получили, что правило g однозначно определено, а значит, это отображение.
Теперь убедимся в сюръективности этого отображения. На самом деле, это свойство очевидно, поскольку для каждого элемента x из X найдется элемент y из E(f), что y=f(x).
2) Пусть мы имеем сюръективное отображение f. Понятно, что для каждого y из Y полный прообраз f^-1(y) будет не пустым. Тогда для каждого такого прообраза однозначно зафиксируем элемент g(y). Таким образом мы получим инъективное отображение g из Y на X.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=5
1111