KNOWED.RU

Если X и Y – произвольные непустые множества, то справедливы следующие утверждения:
1) Если существует инъективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить сюръективное отображение из Y в X.
2) Если существует сюръективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить инъективное отображение из Y в X.
3) Если существует биективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить биективное отображение из Y в X.

Доказательство:
1) Пусть нам дано отображение f:X->Y, являющееся инъективным. Зафиксируем во множестве X элемент xo и определим правило g, согласно которому g(y)=x, если y принадлежит множеству значений отображения f, и g(y)=xo, если y не принадлежит множеству значений f. Убедимся, что правило g будет являться отображением. Пусть g(y)=x1 и g(y)=x2, тогда f(x1)=y и f(x2)=y. Но f – инъективное отображение, значит, x1=x2. Если же x не принадлежит множеству значений отображения f, то g(y)=xo, следовательно, xo=x1=x2. А значит, g – отображение по определению. Теперь докажем, что g – сюръективно. Очевидно, что для любого y из Y найдется непустой полный прообраз, будь то xo или x. Значит, g – сюръективное отображение. Мы доказали, что если существует инъективное отображение из множества X во множество Y, то можно определить отображение из Y в X, являющееся сюръективным.

2) Пусть нам дано отображение f:X->Y, являющееся сюръективным. Тогда понятно, что полный прообраз не является пустым для каждого y из Y. А значит, можно произвольно зафиксировать любой элемент из полного прообраза и отображать туда y при помощи правила g. Ясно, что в таком случае из g(y1)=x и g(y2)=x будет следовать равенство y1 и y2. Значит, отображение g инъективно. Мы доказали, что если существует сюръективное отображение из множества X во множество Y, то можно определить отображение из Y в X, являющееся инъективным.

3) Не трудно догадаться, что существование биективного отображения из Y в X, при условии определения биекции из X в Y, вытекает из предыдущих двух пунктов.
Теорема доказана.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=58
1111