KNOWED.RU

Теорема:
Если X, Y и Z – произвольные непустые множества и определены отображения: f:X->Y, g:Y->Z, тогда верны следующие утверждения:
1) Если отображения f и g являются инъективными, то композиция fog так же инъективна;
2) Если отображения f и g являются сюръективными, то композиция fog так же сюръективна;
3) Если отображения f и g являются биективными, то композиция fog так же биективна;

Доказательство:
1) Пусть нам даны инъективные отображения f и g. Докажем, что композиция fog инъективна. Рассмотрим f(g(x1))=z и f(g(x2))=z. Поскольку отображение f инъективно, то g(x1)=z и g(x2)=z. По инъективности g можно сказать, что x1=x2. Значит, композиция отображений fog инъективна.

2) Пусть нам даны сюръективные отображения f и g. Докажем, что композиция fog сюръективна. Возьмем произвольный элемент z из множества Z. Понятно, что независимо от выбора, z=g(y) по сюръективности g. Однако, f тоже является сюръективным отображением, значит, для любого y из Y выполнено: y=f(x). Таким образом, z=g(y)=g(f(x))=fog. Сюръективность композиции fog доказана.

3) Пункт 3 сразу следует из двух доказанных выше при их одновременном выполнении.

Теорема доказана.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=59
1111