KNOWED.RU

Композицией отображений f:X->Y и g:Y->Z называется отображение fog:X->Z, обозначающее f(g(x)).

Композиция двух отображений определена, тогда и только тогда, когда область значений первого отображения совпадает с областью отображения второго.

Пример композиции отображений:
Рассмотрим композиции отображений отображение R->R, определенные правилами f(x)=x+3 и g(x)=2x-1. Тогда композицией fog назовем отображение: fog(x)=(2x-1)+3.

Теорема:
Операция композиции на множестве всех преобразований непустого множества ассоциативна. То есть, если даны отображения f:X->Y, g:Y->Z и h:Z->T, то fo(goh)=(fog)oh.
Доказательство:
Ясно, что композицию fo(goh) можно разложить на два действия. Сначала выполним композицию g и h, а затем, композицию f и полученного результата. Распишем композицию goh:
goh = Y->Z o Z->T=Y->T.
Далее, распишем композицию f с полученным результатом:
fo(goh)= X->Y o Y->T = X->T.
таким образом, мы получили отображение из X в T.
Теперь, рассмотрим композицию (fog)oh. Ее аналогично можно разбить на два этапа. Сначала произведем композицию f и g, а затем композицию полученного результата и h. Распишем композицию f и g:
fog= X->Y o Y->Z = X->Z.
Далее, композицию полученного результата и h:
(fog)oh= X->Z o Z->T = X->T.
Можно заметить, что fo(goh)=(fog)oh.
Теорема доказана.

Теорема:
Операция композиции на множестве всех преобразований непустых множеств не является коммутативной. То есть fog не равно gof.
Доказательство:
Докажем, что fog<>gof. Рассмотрим произвольные отображения f:X->Y и g:Y->Z. Тогда композиция отображений fog:X->Z, а композиция gof не определена, поскольку область определения отображения g не совпадает с областью значений множества f.
Теорема доказана.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=60
1111