KNOWED.RU

Обозначим через Y^X множество всех отображений из X в Y.

Теорема:
Если X1,X2,Y – произвольные непустые множества, то можно определить биективное отображение из множества Y^(X1UX2) на множество Y^X1 x Y^X2.

Доказательство:
Пусть f задает отображение X1UX2 на Y. Тогда можно определить инъективные отображения f1:X1->Y и f2:X2->Y. Понятно, что в таком случае можно определить правило ф(f)=(f1,f2). Оно будет отображать Y^(X1UX2) во множество Y^X1 x Y^X2. Проверим, что такое отображение ф сюръективно. Понятно, что оно определяется системой: f(x)=f1(x), если x принадлежит X1 и f(x)=f2(x), если x принадлежит X2, поскольку множества X1 и X2 очевидно не пересекаются. А значит, отображение f сюръективно. Докажем инъективность отображения f. Предположим, что f(x1)=y и f(x2)=y. Тогда возможны несколько случаев:
1) Если x1 и x2 принадлежат X1, тогда f(x1)=f1(x1)=y, а f(x2)=f1(x2)=y. Тогда, f1(x1)=f1(x2) => x1=x2, а значит, f инъективное отображение.
2) Если x1 и x2 принадлежат X2, тогда f(x1)=f2(x1)=y, а f(x2)=f2(x2). Следовательно, f2(x1)=f2(x2), а тогда, x1=x2, а значит, f инъективное отображение.
3) Если x1 принадлежит X1, а x2 принадлежит X2, тогда f(x1)=f1(x1)=y, а f(x2)=f2(x2)=y. А значит, f1(x1)=f2(x2)=y, откуда следует, что x1=x2. А значит, f инъективное отображение.
Таким образом, мы доказали биективность отображения f.
Теорема доказана.
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=62
1111