KNOWED.RU

Свойства операции объединения множеств:
  • AuB=BuA;
  • (AuB)uC=Au(BuC);
  • Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C)=(AuB)(ПЕРЕСЕЧЬ)(AuC);
  • Au(Пустое множество)=A;
  • Au(дк)A=U, где ДК-«Дополнение к», а U – универсальное множество, состоящее из всех возможных элементов.

    Доказательство:
    - AuB=BuA:
    Докажем, что AuB=BuA. Возьмем произвольный элемент x из множества AuB. Тогда По-определению, x принадлежит A или B. Рассмотрим случай, когда x принадлежит множеству A. Тогда очевидно, что x будет принадлежать объединению множеств BuA. Если же x принадлежал B, то аналогично можно прийти к тому же вводу. Значит мы доказали включение множества AuB в множество BuA. Если мы докажем обратное включение, то очевидно окажется, что оба объединения равны. Предположим, что произвольный элемент x принадлежит множеству BuA. Тогда по-определению, x принадлежит A или x принадлежит B. Без ограничения общности предположим, что x принадлежит A, тогда ясно, что x принадлежит объединению AuB. Аналогично проверяется с элементом x принадлежащим множеству B. Таким образом, мы доказали включение объединения BuA в AuB. Из двух обратных включений непосредственно следует равенство этих двух объединений.
    - (AuB)uC=Au(BuC):
    Аналогично прошлому доказательству, для доказательства равенства двух множеств (AuB)uC и Au(BuC), докажем два обратных включения. Для начала, предположим, что произвольный элемент x принадлежит множеству (AuB)uC тогда понятно, что x принадлежит A или B или C. Пусть x принадлежит множеству A, тогда x принадлежит объединению множества A с любым другим множеством, а следовательно, объединению множеств A и объединения B и C. То есть, если x принадлежит множеству A, то x принадлежит Au(BuC). Если x принадлежит множеству B, то x принадлежит объединению множества A с множеством B, а следовательно, объединению C с объединением A и B. Таким образом, если x принадлежит множеству B, то x принадлежит множеству A(BuC). Теперь положим, что x принадлежит множеству C, тогда очевидно, что x принадлежит объединению множеств B и C. А значит и Au(BuC). Мы доказали включение из (AuB)uC в Au(BuC). Теперь докажем обратное включение. Пусть x принадлежит множеству Au(BuC). В таком случае, x принадлежит A или B или C. Сначала пусть x принадлежит A, тогда x принадлежит объединению A и B, а значит, x принадлежит (AuB)uC. Если x принадлежит B, то ситуация аналогична. Если же элемент x принадлежит множеству C, то по-определению, x принадлежит объединению множества C с любым другим множеством, в том числе (AuB)uC. Таким образом, мы доказали два обратных включения, а следовательно и равенство объединений.
    - Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C)=(AuB)(ПЕРЕСЕЧЬ)(AuC):
    Докажем, что - Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C)=(AuB)(ПЕРЕСЕЧЬ)(AuC). Для этого воспользуемся уже знакомым нам способом доказательства двух обратных включений. Для начала, предположим, что произвольный элемент x принадлежит множеству Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C). Тогда возможны два случая: x принадлежит либо множеству A, либо множествам B и C одновременно. Если x принадлежит множеству A, то он принадлежит объединениям (AuB) и (AuC). А значит, x принадлежит их пересечению, т.е (AuB)(ПЕРЕСЕЧЬ)(AuC). Мы доказали включение из левой части в правую. Теперь предположим, что некий произвольный элемент x будет принадлежать множеству (AuB)(ПЕРЕСЕЧЬ)(AuC). Тогда возможны два случая: либо x принадлежит A или B и A или C. Если x принадлежит A, то x очевидно принадлежит Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C). Если x принадлежит B и C, то x принадлежит B(ПЕРЕСЕЧЬ)C, а следовательно, Au(B(ПЕРЕСЕЧЬ)C). Мы доказали обратное включение. Из двух включений следует равенство множеств.
    - Au(Пустое множество)=A:
    Докажем. Что объединение множества A с пустым множеством (множеством, не содержащим ни одного элемента) дает множество A. Для этого предположим, что произвольный элемент x принадлежит объединению A и (Пустое множество). Тогда понятно, что x принадлежит либо A, либо пустому множеству, что невозможно. Тогда x принадлежит множеству A. Следовательно, выполнено включение из объединения множества с пустым множество в это множество. Теперь предположим, что x принадлежит A. Тогда x очевидно будет принадлежать множеству Au(Пустое множество). Следовательно, выполнены обратные включения и объединение множества A с пустым множеством равно этому множеству.
    - Au(дк)A=U, где ДК-«Дополнение к», а U – универсальное множество, состоящее из всех возможных элементов:
    Если произвольный элемент x принадлежит множеству Au(дк)A, то очевидно, что x принадлежит либо A, либо (дк)А. Оба этих множества являются подмножествами универсального множества, а значит, выполнено включение в объединения множества и дополнении к этому множеству в универсальное множество. Без труда можно доказать и обратное включение. Пусть произвольный элемент x принадлежит универсальному множеству. Тогда не трудно догадаться, что x принадлежит либо множеству A, либо дополнению к этому множеству. В обоих случаях x принадлежит их объединению, а значит, выполнено включение из универсального множества на их объединение. Два обратных включения дают на равенство этих множеств.
    Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
    Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=80
  • 1111