KNOWED.RU

АКСИОМЫ ПЕАНО:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество всех натуральных чисел N - это множество, в котором для каждого элемента n однозначно определен следующий элемент n' причем выполнены следующие свойства:
1) Множество N содержит элемент 1, обладающий свойством n'≠1 для юбого n?N.
2) Для любых m,n?N из n'=m' следует m=n
3) Пусть M- произвольное подмножество из N, причем 1?M и из включения m?M следует, что m'?M, тогда N=M. (Аксиома Индукции)

СУММА:
Для произвольных натуральных чисел положим:
1) m+1=m;
2) m+n'=(m+n)'

Тогда операция сложения обладает следующими свойствами:

1) m+(n+p)=(m+n)+p
Доказательство:
Рассмотрим множество M={p| m+(n+p)=(m+n)+p , m,n?N}
Поскольку m+(n+1)=m+n'=(m+n)'=(m+n)+1, то 1?M;
m+(n+p')=m+(n+p)'=(m+(n+p))'=((m+n)+p)'=(m+n)+p'

2) m+n=n+m
Доказательство:
Рассмотрим множество M={n| m+n=n+m , m,n?N}
m'+1=m+1'=(m+1')=(1+m)'=1+m'

3) m+p=n+p => m=n
Доказательство:
Рассмотрим множество M={n| m+n=n+m , m,n?N}
Докажем для р=1:
m+1=n+1=>m'=n'=>m=n
Для р'
m+p'=n+p' => (m+p)'=(n+p)' => m+p=n+p => m=n
Опубликовано на сайте: http://www.knowed.ru
Прямая ссылка: http://www.knowed.ru/index.php?name=pages&op=view&id=92
1111