Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Расширение области исследований алгебры

Алгебра В начале XIX, были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающаяся на геометрические понятия, а алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о возможности решения уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Постороннему наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры стала развиваться по другому пути: по науке о буквенные вычисления и уравнение она превратилась в общую науку об операциях и их свойства.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «Гиперкомплексное чисел» - чисел с несколькими "мнимыми единицами». Такую систему чисел, которые имели вид a + bi + cj + dk, где i^2 = j^2 = k^2 = -1, построил в 1843 г. ирландский математик В. Гамильтон, назвав их «кватернионов». Правила действий над кватернионов напоминают правила обычной алгебры, однако операция умножения не является коммутативных: например, ij = k, а ji = - k.

С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводится много изученных ранее операции. Английский логик Джордж Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что и как в случае операций над высказываниями, так операции обладают свойствами комутативности, ассоциативностью и дистрибутивности, но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.

Таким образом в течение XIX в. возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы для рациональных чисел, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) чисел. Одинаковыми оказались правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к абстрактного понятия композиции, т.е. операции, которая каждой паре (a, b) элементов определенного множества ставит в соответствие третий элемент этого же множества. Композициями является сложения и умножения натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, умножение матриц, пересечение и объединение подмножеств определенного множества, и т.д. А вычитание и деление в поле натуральных чисел не являются композициями, так как разница и доля могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций независимо от объектов, к которым они применяются. Иначе говоря, - алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах и законы композиции операций. При этом два множества, в каждой из которых определены композиции, стали считать тождественными с точки зрения алгебры (изоморфны), если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одну из них, узнаем алгебраические свойства другого.

Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции ограничено, было выделено типа таких множеств, которые хотя и не изоморфны, однако имеют общие свойства композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения над множествами рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля - множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является ныне одним из важнейших не только в алгебре, и во всей математике.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование