Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Связь инъективных и сюръективных отображений

Алгебра Если X и Y - произвольные непустые множества, то следующие утверждения выполнены:
1) Если отображение f из X в Y инъективно, то существует сюръективное отображение g из Y в X.
2) Если отображение из X на Y сюръективно, то существует инъективное отображение g из Y на X.

Доказательство утверждения:
1) пусть мы имеем инъективное отображение из X на Y. Назовем его f. На множестве X зафиксируем произвольный элемент xo. Определим следующее правило. Если y принадлежит E(f), где f(x)=y то g(y)=x, если же y не принадлежит E(f), где f(x)=y, то g(y)=xo.
Убедимся, что g - отображение. Предположим, что g(y)=x1 и g(y)=x2. Для начала рассмотрим случай, когда y принадлежит E(f). Тогда f(x1)=y и f(x2)=y. Из инъективности отображения f получаем, чтот x1=x2. Далее, рассмотрим случай, когда y не принадлежит E(f). В этом случае, g(y)=xo, значит f(xo)=y, следовательно xo=x1=x2. Мы получили, что правило g однозначно определено, а значит, это отображение.
Теперь убедимся в сюръективности этого отображения. На самом деле, это свойство очевидно, поскольку для каждого элемента x из X найдется элемент y из E(f), что y=f(x).
2) Пусть мы имеем сюръективное отображение f. Понятно, что для каждого y из Y полный прообраз f^-1(y) будет не пустым. Тогда для каждого такого прообраза однозначно зафиксируем элемент g(y). Таким образом мы получим инъективное отображение g из Y на X.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование