Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Теорема о «обратности» инъективных и сюръективных отображений.

Алгебра Если X и Y – произвольные непустые множества, то справедливы следующие утверждения:
1) Если существует инъективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить сюръективное отображение из Y в X.
2) Если существует сюръективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить инъективное отображение из Y в X.
3) Если существует биективное отображение из X в Y, то обязательно можно определить биективное отображение из Y в X.

Доказательство:
1) Пусть нам дано отображение f:X->Y, являющееся инъективным. Зафиксируем во множестве X элемент xo и определим правило g, согласно которому g(y)=x, если y принадлежит множеству значений отображения f, и g(y)=xo, если y не принадлежит множеству значений f. Убедимся, что правило g будет являться отображением. Пусть g(y)=x1 и g(y)=x2, тогда f(x1)=y и f(x2)=y. Но f – инъективное отображение, значит, x1=x2. Если же x не принадлежит множеству значений отображения f, то g(y)=xo, следовательно, xo=x1=x2. А значит, g – отображение по определению. Теперь докажем, что g – сюръективно. Очевидно, что для любого y из Y найдется непустой полный прообраз, будь то xo или x. Значит, g – сюръективное отображение. Мы доказали, что если существует инъективное отображение из множества X во множество Y, то можно определить отображение из Y в X, являющееся сюръективным.

2) Пусть нам дано отображение f:X->Y, являющееся сюръективным. Тогда понятно, что полный прообраз не является пустым для каждого y из Y. А значит, можно произвольно зафиксировать любой элемент из полного прообраза и отображать туда y при помощи правила g. Ясно, что в таком случае из g(y1)=x и g(y2)=x будет следовать равенство y1 и y2. Значит, отображение g инъективно. Мы доказали, что если существует сюръективное отображение из множества X во множество Y, то можно определить отображение из Y в X, являющееся инъективным.

3) Не трудно догадаться, что существование биективного отображения из Y в X, при условии определения биекции из X в Y, вытекает из предыдущих двух пунктов.
Теорема доказана.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Аноним (Аноним)
Добавлено 09.01.2010 12:02 Комментарий: 1
Аноним (Аноним)

Автор жжет !!!!!!!!!!! Респект и уважуха !!!!!!!!!!!!!!
Ответить персональноСпуститься к концу Подняться к началу
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование