Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Отображение, обратное данному.

Алгебра Отображение обратное к f:X->Y, это отображение g:E(f)->X, удовлетворяющее равенствам: f(g(y))=y и g(f(x))=x.

Свойства взаимно-обратных отображений:
1)D(f)=E(g);
2)D(g)=E(f);
3)fog=Ey;
4)gof=Ex;

Теорема:
Если существует инъективное отображение f:X->Y, то можно определить биективное отображение g:E(f)->Y, удовлетворяющее равенствам: f(g(y))=y и g(f(x))=x. Такое отображение принято называть обратным.
Доказательство:
Определим правило g для произвольного y из множества y так, что f(x)=y тогда и только тогда, когда g(y)=x. Для начала убедимся, что g - отображение. Пусть g(y)=x1 и g(y)=x2. Тогда ясно, что f(x1)=y и f(x2)=y, но отображение f инъективно, а значит, x1=x2 в данном случае. Теперь докажем, что g инъективно. Предположим, что g(y1)=x и g(y2)=x. Тогда f(x)=y1 и f(x)=y2. Но f – инъективное отображение, тогда y1=y2, а значит, g инъективно. Покажем, что g сюръективно. Понятно, что y=f(x) для любого y из E(f). Значит, g – сюръективно. Из инъективности и сюръективности отображения g сразу следует его биективность.
Теорема доказана.

Теорема:
Пусть дано отображение f:X->Y. Тогда если существует такое отображение g:Y->X, что fog=Ex, а gof=Ey, f – биективно и g=f^-1.
Доказательство:
Докажем, что отображение f обладает свойством инъективности. Предположим, что f(x1)=y и f(x2)=y. Тогда понятно, что f(x1)=f(x2), а значит, gof(x1)=gof(x2). Т.к gof=Ex, то x1=x2. Докажем сюръективность отображения f. Возьмем произвольный элемент y из множества y так, что g(y)=x. Понятно, что т.к fog=Ey, то f(x)=f(g(y))=fog(y)=Ey(y)=y. Значит, такой элемент x найдется для любого y. Следовательно, отображение f сюръективно, а значит, биективно. Теперь докажем, что g=f^-1. Выберем произвольный элемент x из множества X и y=f(x). Тогда g(y)=g(f(x))=gof(x)=Ex(x)=x, значит, y=f(x) => x=g(y). Проверим обратное утверждение: выберем произвольный элемент y из Y и g(y)=x. Тогда f(x)=f(g(y))=fog(y)=Ey(y)=y. То есть g(y)=x => f(x)=y. А от сюда, g=f^-1.
Теорема доказана.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование