Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Существование биективного отображения из Y^(X1UX2) на Y^X1 x Y^X2.

Алгебра Обозначим через Y^X множество всех отображений из X в Y.

Теорема:
Если X1,X2,Y – произвольные непустые множества, то можно определить биективное отображение из множества Y^(X1UX2) на множество Y^X1 x Y^X2.

Доказательство:
Пусть f задает отображение X1UX2 на Y. Тогда можно определить инъективные отображения f1:X1->Y и f2:X2->Y. Понятно, что в таком случае можно определить правило ф(f)=(f1,f2). Оно будет отображать Y^(X1UX2) во множество Y^X1 x Y^X2. Проверим, что такое отображение ф сюръективно. Понятно, что оно определяется системой: f(x)=f1(x), если x принадлежит X1 и f(x)=f2(x), если x принадлежит X2, поскольку множества X1 и X2 очевидно не пересекаются. А значит, отображение f сюръективно. Докажем инъективность отображения f. Предположим, что f(x1)=y и f(x2)=y. Тогда возможны несколько случаев:
1) Если x1 и x2 принадлежат X1, тогда f(x1)=f1(x1)=y, а f(x2)=f1(x2)=y. Тогда, f1(x1)=f1(x2) => x1=x2, а значит, f инъективное отображение.
2) Если x1 и x2 принадлежат X2, тогда f(x1)=f2(x1)=y, а f(x2)=f2(x2). Следовательно, f2(x1)=f2(x2), а тогда, x1=x2, а значит, f инъективное отображение.
3) Если x1 принадлежит X1, а x2 принадлежит X2, тогда f(x1)=f1(x1)=y, а f(x2)=f2(x2)=y. А значит, f1(x1)=f2(x2)=y, откуда следует, что x1=x2. А значит, f инъективное отображение.
Таким образом, мы доказали биективность отображения f.
Теорема доказана.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование