Характеризация множества всех натуральных чисел через порядоk. Существует три свойства нестрогого порядка на множестве N:
1) N является вполне упорядоченным множеством
2) Всякое непустое ограниченное сверху подмножество из N имеет наибольший элемнт
3) Множество N не имеет наибольшего элемента
В качестве элемента 1 воьмем наименьший элемент множества N. Cуществоваие такого элемента гарантируется свойством 1.
Пусть N<n(>n) означает множество всех натуральных чисел меньших(больших), чем n. В силу свойства 3 каждое из мнжеств N>n непусто.
Поэтому по свойству 1 при любом n?N множество N>n имеет наибольший элемент. Этот элемент обозначим через n'.
1) Из того, что 1 является наименьшим элементом множества N следует первая аксиома Пеано.
2)Предположим, что существуют такие m и n, что m≠n и m'=n'. Т.к m≠n, то одно из этих чисел меньше другого.
Тогда n?N>m, m'<n<n', что противоречит m'=n'.
3) Пусть M - такое множество, что 1?M, n?M=>n'?M.
Q=N/M - пусто, тогда M=N. Прдположим, что Q не пусто, тогда по 1 множество Q имеет наименьший элемент r. Ясно,что r<q =>r?M.
Пусть s?N>r, т.е r<s, тогда s<q невозможно, т.к r-наибольший элемент N>r т.е q=r. Тогда r?M и q=r'?M. Противоречие M пересечь Q = пусто.
| Разместил: KNOWED.RU Дата: 21.06.2009 Прочитано: 2975 | |  | |
|
