Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

Алгебра Пусть a,b,c - произвольные целые числа, причем a,b отличны от нуля. Рассмотрим уравнение:
ax+by=c
Поставим задачу нахождения всех целочисленных решений этого уравнения. В этом случае оно называется Диофантовым.
Пусть d=(a,b). Ясно, что если уравнение имеет решения, то d делит c.
Пусть a=a1d, b=b1d, c=c1d. Понятно, что уравнения a1x+b1y=c1 и ax+b=c равносильны.
Значит без ограничения общности можно считать, что в уравнении ax+by+c коэффициенты a и b взаимно просты.

Опишем множество решений Диофантова уравнения:

ТЕОРЕМА: Пусть (xo,yo) - некоторое решение Диофантова уравнения ax+by=c , причем коэффициенты a и b взаимно просты.
Если (x,y) - произвольное решение этого уравнения, то x=xo+bt, y=yo-at для некоторого целого t.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Подставляя выражение xo+bt и yo-at вместо x и y в уравнение получим:
a(xo+bt)+b(yo-at)=axo+abt+byo-bat=axo+byo=c
Таким образом, числа xo+bt, yo-at образуют решение уравнения при любом целом t.
Пусть x,y - произвольные решения диофантова уравнения ax+by=c. Кроме того, axo+bxo=c.
Тогда ax+by=axo+byo, тоесть ax-axo+bx-bxo=0 => a(x-xo)+b(y-yo)=0.
Поскольку a и b взаимно просты, то видно, что b делит x-xo т.е x-xo=bt. теперь имеем:
abt+b(y-yo)=c, откуда y-yo=-at. Тем самым проверено, что любое решение диофантова уравнения имеет вид предложенный в теореме.

Решим в качестве примера диофантово уравнение:
13x+41y=8
Выражая x через y получим:
x=(8-41y)/13=-3y+(8-2y)/13
Поскольку x и -3y - целые числа, то 13 должно делить 8-2y.
Значит, 8-2y=13z для некоторого целого z, тогда
y=(8-13z)/2=4-7z+z/2
Теперь получили, что 2 должно делить z, т.е
z=2t. Теперь
y=y=4-7(2t)+t=4-13t.
Из равенства x=(8-41y)/13=-3y+(8-2y)/13 окончательно получаем:
x=-3(4-13t)+2t=-12+41t.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Нет комментариев. Почему бы Вам не оставить свой?
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование