Читайте также

Главная  Лучшие    Популярные   Список   Добавить
Статьи » Математика » Алгебра

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Алгебра Пусть a1,a2 - произвольные положительные числа. Из очевидного неравенства (sqrt(a1)-sqrt(a2))^2>=0 легко получить, что
sqrt(a1a2)<=(a1+a2)/2
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a1=a2.

Пусть a1,a2,a3...an - произвольные положительные числа.
Рассмотрим их среднее геометрическое: Gn=sqrt^n(a1a2...an) и среднее арифметическое: An=(a1+a2+...+an)/n.

Предложение:
Пусть x1,x2...xn - такие произвольные числа, что x1x2...xn=1. Тогда x1+x2+...xn>=n, причем равенство выполнено тогда и только тогда, когда x1=x2=...=nn=1.
Доказательство:
Применим метод мат. индукции:
Б: При n=1 утверждение очевидно.
П: Пусть при n=k>=1 утверждение выполнено.
Ш: Проверим, что оно выполнено и при n=k+1.
Возьмем произвольные положительные числа x1,x2...xk,xk+1 и предположим, что
x1x2...xkxk-1=1
Возможны два случая:
1) Все числа x1,x2...xk,xk+1 равны между собой, тогда они равны 1 => x1+x2+...+xk-1+xk+xk+1=k+1.
2) Среди чисел x1,x2,...xk,xk+1 есть различные. Ясно, что тогда найдутся два числа, одно из которых меньше, а другое больше 1.
Без ограничения общности можно считать, что xk<1, a xk+1>1. Применив предположение индукции приходим к неравенству x1+x2+...+xk-1+xkxk+1>=k
Откуда следует неравенство
x1+x2+...+xk-1+xk+xk+1>=k+xk+xk+1-xk*Xk+1
Напомним теперь, что xk<1 и xk+1>1. Из этих неравенств вытекает, что 1-xk и k+1-1 положительны. Поэтому (1-xk)(xk+1-1)>0
Раскрывая в произведении скобки, переставляя слагаемые получим: xk+xk+1-xkxk+1-1>0
Откуда,
xk+xk+1-xkxk+1>1
Из неравенств x1+x2+...+xk-1+xkxk+1>=k и xk+xk+1-xkxk+1>1 следует, что x1+x2+...+xk-1+xk+xk+1>k+1 #

ТЕОРЕМА: Пусть a1,a2,a3...an - произвольные положительные числа. Тогда
Gn=sqrt^n(a1a2...an) <= An=(a1+a2+...+an)/n.
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a1=a2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть a1,a2,...,an - произвольные положительные числа. Gn-их среднее геометрическое. Рассмотрим числа xi=ai/Gn (1<=i<=n).
Числа xi положительны, и x1x2...xn=1. Поэтому x1+x2+...+xn>=n. Стало быть (a1+a2...+an)/Gn>=n
А отсюда вытекает, что (a1+a2+...+an)/n>=Gn.

Дополнительно по данной категории

11.03.2010 - История квадратных уравнений манэ
11.03.2010 - Квадратные уравнения
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Упрощение уравнений и сведение к линейному
10.03.2010 - Линейные уравнения
Тальмон (Аноним)
Добавлено 02.11.2010 13:13 Комментарий: 1
Тальмон (Аноним)

Есть и такое доказательство: 1. Неравенство так же доказывается для двух чисел. 2. Потом, например по индукции, для 2^k чисел. 3. Третий шаг - по индукции назад! Доказывается, что если неравенство верно для n чисел, то оно верно и для n-1 чисел, и таком образом покрываются все числа. А доказывается этот шаг таким образом: В качестве n-го числа подставляем в неравенстве для n чисел - среднее арифметическое первых n-1 чисел, и после обычных упрощений получится искомое неравенство для первых n-1 чисел.
Ответить персональноСпуститься к концу Подняться к началу
Ваше сообщение будет опубликовано только после проверки и разрешения администратора.
Ваше имя:
Комментарий:
Смайл - 01 Смайл - 02 Смайл - 03 Смайл - 04 Смайл - 05 Смайл - 06 Смайл - 07 Смайл - 08 Смайл - 09 Смайл - 10 Смайл - 11 Смайл - 12 Смайл - 13 Смайл - 14 Смайл - 15 Смайл - 16 Смайл - 17 Смайл - 18
Секретный код:
Секретный код
Повторить:

Поиск по сайту

Поиск

Авторизация


Добро пожаловать,
Аноним

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Ник:
Пароль:


Содержание:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Правообладателям
Образование